序
我喜欢万维钢的书，每次看他的书，我都会从中受到不少启发，这次也不例外，这些最让我意外的是，通过这本书，我找到了一个问题的答案，这个问题我思考了不下十年了。
简单的说，这是我读研究生时候产生的一个想法，这世界到底是不是确定的？也就是说万事皆有因，到底是不是存在的？当年，拉普拉斯妖为代表的确定论真的是被海森堡的测不准原理和洛伦兹的蝴蝶效应推翻了吗？混沌揭示的是细微的变化经过多次迭代会出现显著的差异，而混沌系统就是一个确定性但不可预测的系统，它怎么会推翻确定论呢？
到底世界是不是确定的？一切是不是都是命中注定的？
如果世界是一台计算机–《你有你的计划，世界另有计划》
为了解答拉普拉斯妖是不是已经被人类禁锢起来的这个问题，我寻找了很久，为此我在不同的时候写了不同的随笔，但让我越来越确定的是，我的猜想是对的，而大部分的科普小文的表述都是不对的。越是名气大的教授，对这个问题越谨慎，回答起来越保守；越是一般的学者，回答这个问题的时候越是斩钉截铁，顺带着一丝鄙视的眼光。
不过想明白这个事情，并不会让我获得什么名声和财富，只是自己在精神的层面，感觉自己又坚定的往前走了一步。当年毕业困扰我的两个问题，一个是到底熵的内涵是什么，一个是确定论真的被推翻了吗，都在十年之后，我凭借自己的努力，找到了一个我满意而科学的答案。
关于混沌的世界，我有几点是坚信的，一切是确定的，而人的计算能力是有限的，计算机的也是有限，因为浮点数的IEEE754的标准，表明了计算机是不可能处理无限精度的无理数的，基于有理数域的电子计算机，是无法计算实数域的复杂系统的，要不断的修正模型与现实的误差，才有可能使得系统在正常的范围内运行，因为我们根本没有能力计算时间长时间的大气环流，混沌效应让计算精度导致的问题使得模型会偏离真实很远，况且这个数学模型还不一定对。
计算机的本质是自然数运算，这就是它的局限
万维钢教授说，麻省理工学院出版社2017年出版了一本书叫《柏拉图和技术呆子》，作者是加州大学伯克利分校的电子工程与计算机科学教授爱德华•李（EdwardLee )。《柏拉图和技术呆子》这本书的前半部分和后半部分几乎没什么关系。前半部分讲计算机工程师的智慧，后半部分则是从理论上探讨计算机这种东西的局限性。
我们知道，工程师做的都是模型，计算机也是一种模型。那这个宇宙是计算机吗？有一种猜想认为我们以为的这个“现实世界”，其实是某个更高智能的计算机模拟——我们其实是生活在一个网络游戏里。如果你觉得这个猜想太过离奇，我还可以换个说法：请问我们生活的这个现实世界，在理论上，可以用一台要多强大就有多强大的计算机来完全模拟吗？
- “自然数”是0,1,2,3,……
- “整数”是自然数加上负的自然数：……-3,-2,-1，0,1，2,3……
- “有理数”则包括了分数和小数，但要求必须是有限的，或者是无限但是必须循环的小数——本质上，所有有理数都可以写成分数，也就是两个整数相除：1/2,1/3,4/3……
在说实数之前，我先问你一个问题。你说到底是自然数多，还是自然数里的“偶数”多呢？自然数和偶数都有无限多个。无限多的两种东西，怎么比较多少——无限大和无限大到底哪个大，这是个问题。
德国哲学家格奥尔格•康托（GeorgCantor )曾经为此思考了整整12年。这个康托，在混沌的世界也是一位鼻祖级的人物。大概是1874年，康托提出，自然数、自然数中的偶数，甚至一切有理数，都是一样多的。康托的洞见在于两个集合的元素如果能一一对应，那这两个集合的元素个数就一样多。
现在轮到“实数”了。所有有理数都是实数，而实数还包括“无理数”，也就是小学老师所谓的“无限不循环小数”。无理数的特点是不能写成分数的形式，也就是不能用两个整数相除得到。比如根号2和圆周率就都是无理数。
实数不能跟自然数做一一对应。虽然自然数和实数都有无限多个，但是这两个无限不是一个级别——实数比自然数要多得多。如果你说自然数是“无穷多”，那实数就是“不可思议的多”。你可能会说，这些都是一百多年前的人就知道的数学，现在对很多人来说都是常识，说这些有什么意义呢？
意义就在于，实数是不可数的，而计算机的一切，都是可数的。
理论上讲，只要有足够多的内存、给足够多的时间，一台计算机就可以完成任何“算法”。但是计算机对算法有三个要求。这些要求就决定了，计算机和真实世界似乎是有区别的。
第一个要求是算法必须是“数字化”的。计算机所有的输入和输出，中间计算过程中涉及的所有数，都必须能用有限多个数字描写。也就是说要么是整数，要么是有限位的小数。换句话说，计算机只能处理有理数。比如说圆周率，计算机里没有真正的圆周率。你要输入圆周率，只能输入一个有限位的近似的小数，3.141592653……到一定长度你必须停下。你可以用计算机把圆周率算到任意精度，但是总要在算到某一位的时候停。
第二个要求是，算法是一步一步的。计算机不能算连续。所有计算机程序都按照“步”运行，这一步干什么、下一步干什么。我们要模拟一个足球的运动，必须先把时间和空间分成若干“小步”，让足球每次走一步。当然我们可以把步分得很细一~但是一旦确定了步，一步就是一步，没有“半步”这种中间状态。这是因为计算机的底层是一个开关网络。晶体管要么是幵要么是关，没有半幵半关的状态。真实世界好像不是这样的。我们挥一挥手，让手从A 点到达B 点，这应该是一个连续的运动，我们的手似乎应该经历了从A 点到B 点之间每一个距离数字——其中既有有理数也有无理数。而计算机模拟的我们的手，只能经历有理数。
第三个要求是，图灵机必须停机。给一个算法，它一定要算出一个结果来。从这个意义上讲，现在的计算机都不是严格的图灵机。比如我们用的个人电脑的操作系统，在理论上都可以永远不停机。我们还可以跟电脑做交互式的操作，这就更不是图灵机了。而真实世界，也是交互的。当然电脑里运行的每一段代码，都符合图灵机的要求。根据这些要求，计算机程序就一定是有限长的而且是数字化的操作。事实上，所有计算机程序都可以翻译成由0和1组成的代码，硬件层面就是这么操作的。
如果空间和时间都是连续的东西，无限可分，那真实世界就必须有无理数。但如果空间和时间本来就是不连续的呢？比如说，也许空间上存在一个最小的距离尺度，比这更小就没意义了。也许这个宇宙的空间就好像电脑屏幕一样，有一个分辨率——当然它的分辨率非常非常高，但是是有限的。
这就是所谓“数字宇宙假设”。我们一直说宇宙必定是“数学”的，但我们可没说宇宙必定是“数字”的。“数学宇宙”允许无理数，如果有无理数就不可编码；而“数字宇宙”是建立在有理数上的，它在本质上就可以用计算机编码。
如果我相信真实世界是实数的，那么就有很多机器并不像计算机那样只能处理有理数——事实上，绝大多数“机器”都能处理实数。爱德华•李举了个气球的例子。我们把气球充满气，它就变成了一个球形。如果气球的直径是1米，它的周长就会是II 米。我们可以把气球当成一个计算器，它帮我们计算了pi——而pi是一个无理数。气球，是一台可以计算无理数的机器。那你可能又要抗议了，说这不对啊，测量总是有误差的，我不管怎么测量也不可能从一个气球上测量出真正的圆周率。没错。但爱德华•李说这没关系，要点在于气球有一个周长，这个周长的本质是个无理数一~至于你能不能测量，那是另一回事儿，受你测量手段的限制，气球对此不负责任。
这个道理在于，哪怕你测量出来的输入和输出都是有理数，这个机器的本质也可以是计算实数的。有理数是你对世界有限的观测，而世界的本质是实数。输入和输出的东西都是可数的，但内部却有些不可数的东西。还有一个机器似乎也符合这个条件，那就是人的大脑。
数学世界无随机
首先，有一个永远不变的数学王国，很多人把它叫作“柏拉图世界”。柏拉图世界里有各种各样的数学结构。
每一个数学结构，都对应一个物理实体。这个观念被称为“数学民主主义”：数学上存在，物理上就存在。无数个数学结构，就对应着无数个数学宇宙。
数学宇宙的特点就是除了数学就没有别的东西——一切包袱都只不过是人为的概念而已。基本粒子是纯粹的数学结构，底层的一切，只有数学。
当然，并不是所有数学宇宙里都适合生命生存。有的数学宇宙非常简单，有的数学宇宙里能量不守恒，有的数学宇宙里不存在稳定的质子。我们这个宇宙看起来很不错，这只不过因为我们恰好生活在这个宇宙里，也可以说，这个宇宙恰好适合生命生存。现在物理学家苦苦寻找的终极理论，就是我们这个数学宇宙的数学结构。
但是那些不适合生命生存的数学宇宙，也都存在。什么叫存在？不一定非得让你看得见摸得着才叫存在，数学上存在就等于存在。
我们经常幻想的魔法世界，其中有神仙，可以修炼内功，有七十二般变化，这种世界存在吗？只要你能找到一个合适的数学结构，那个数学结构允许魔法，那么魔法世界就是存在的。
“每一部小说的剧情，每一个可能的人物，只要在数学上是合理的，那就一定在某个数学宇宙里真实存在。
每一个数学上合理的可能性都会发生，都发生过，而且发生过无数次。
我们完全不需要什么上帝之类的造物主，我们这个世界不需要任何理由就存在。
你、我、我们都是数学的产物，我们的各种活动只是在实践数学上的可能性而已——我们，就是数学的一部分。这其实就是薛定谔在《生命是什么》中表达的意思。
数学宇宙”这个思想认为，宇宙是个数学结构，宇宙里的一切都是数学的。虽然我们不知道这个宇宙的终极理论是什么样的，但是我们知道，它一定是数学公式。而只要是数学公式，它就没有随机性。
不管是什么公式，你输入一组数字，它就会算出一个结果——它不可能有时是这个数，有时是那个数。公式就是公式，没有自由意志，也不会跟你开玩笑。
那量子力学的随机性是从哪来的呢？还真不是从数学公式来的。量子力学里的波函数遵守的薛定谔方程完全是个正常的、确定性的公式——随机性不是来自波函数本身，而是来自波函数的“坍缩”。而波函数到底怎么坍缩，则不受数学控制！
正确的学习方法只有一种风格
新一代更愿意追求“科学的”学习方法，认为学习这件事应该是快乐的，最好能寓教于乐，让每个人都能轻松愉快地获得知识。研究发现，很多学生都喜欢的那些所谓的快乐的适合自己的方法，恰恰对谁都没好处。
心理学家几十年的研究结果表明，真正有效的方法对每个人都有效，不管你喜不喜欢。
有效的方法可以归结为：
- 第一，要在学习时间上安排一定的间隔，不要突击学习。这个间隔学习法的原理是人脑的“记忆曲线”。隔一段时间回想前面学过的，然后再学新的，这个方法最有利于记忆。
- 第二，在不同的场景下、用不同的方式学习同一个内容。比如同一个知识点，在课堂上看老师演示一遍，这是视觉；回家自己精读课本，这是读写；下一堂课再动手操作一遍……这样用不同的方法来学习同一个内容，效果很好。“而且有些特定的内容适合特定的方法。万维钢特地查了相关的研究，让学习方法和学习内容相匹配，而不是跟学生的喜好相匹配，才是科学的做法。
- 第三，要经常参加测验，看看自己是不是真的掌握了相关的知识。这其实就是我们常说的刻意练习的“反馈”。不测验，你就无法知道自己是不是真学会了。
- 第四，要把新学到的知识和以前的知识建立连接。新旧知识连在一起，熟悉+意外，它才算是真正长在了你的大脑之中。
寓教于乐不是最有效的学习方法。你喜欢愉快的学习过程，但你更喜欢获得真知。管用的方法不好玩，只有付出了努力和汗水，有过挣扎和斗争，你才能真正掌握知识。
达•芬奇诅咒
你可能认识这样的人——他们非常聪明，精神生活无比丰富，特别喜欢学习，有很多爱好，对各种事情都了解，在各个学科都有涉猎。他们都是有意思的人，你喜欢和他们聊天，总能跟他们学到你不知道的东西。
但是，这些人没有取得什么重大成就。他们年轻的时候充满自信，年龄大了却有一种失落感，觉得浪费了自己的才华。这些人可能陷入了“达•芬奇诅咒”。
达•芬奇是一位画家，还是一位建筑师，他擅长人体解剖，在科学上有很多成就，还搞了很多技术上的发明创造。达•芬奇，是个全才。而“达•芬奇诅咒”的意思则是一个人也像达•芬奇一样对什么东西都感兴趣，也像是个全才，结果却一事无成。
现代人面临的局面是，如果你的梦想是当科学家，可是你整天都读科学新闻，什么《自然》《科学》这些杂志一本都不落下，那你很可能在科研上一事无成。因为你根本没时间去做专业的事情。想在现代社会中成为专家，你必须花大量的时间在一个领域刻意练习。而具有“达•芬奇人格”的人，感兴趣的领域实在太多了。他们看什么都有强烈的好奇心，总会被更新奇的事物所吸引，以至于根本没办法静下心来专注于一个领域。
如果想要严肃地做好一个项目，你会面临竞争的问题，你得名列前茅才行。可是有达•芬奇人格的人不愿意参加竞争。其实他们如果真的好好竞争也不见得争不过别人，但是他们更希望不竞争就能证明自己的能力。
所以作者的建议是，如果你有达•芬奇人格，最好寻找一个能综合利用你的各项技能的活动。这个活动一定要复杂，因为聪明人喜欢复杂的东西，也只有复杂的东西才能体现你的能力。
但选择领域要考虑三个标准：
- 第一，你得确实喜欢这个领域；
- 第二，你得在这个领域中有天赋；
- 第三，这个领域必须能让你挣到钱。
不过还有两个性格方面的建议，
- 一个是聪明人都喜欢拖延，达•芬奇本人就非常爱拖延，而你想做事就得把拖延的毛病给治好。
- 另一个是你得克服自恋情绪。很多聪明人都自恋，适度的自恋可以给你自信，但自恋过度，就会在极度的兴奋和抑郁之间摇摆。今天觉得这个事情有意思就特别想干，热情一旦没了就感到挫败和郁闷——干事儿的人最好情绪不要这么波动。
一个同时学习绘画、冰球和武术外加三种乐器的孩子，如果足够好学，也许可以在每个项目上都达到足以赢得家长赞赏的水平，但他几乎不可能在任何项目上达到足以赢得竞争的水平。这不就是达•芬奇诅咒吗？
真正搞技术的人没有中年危机，有中年危机的人都是技术不行的人
2018年4月17日美国西南航空公司一架波音737客机发生重大事故。飞机起飞不久，左侧发动机爆炸。机长很好地操控了飞机，用一个发动机又飞了40多分钟，迫降，结果只有1名乘客死亡，7人受伤。事后乘客纷纷对机长表示了感谢，说她有“钢铁般的意志”。这位机长叫塔米•舒尔茨（TammieShults ,—位56岁的女性，曾在空军服役多年，幵的是F /A -18战斗机，而在参军之前，她大学本科学的是生物学和综合农业。舒尔茨能在关键时刻镇定自若，也许是因为她经历过很多事情，有不同领域的综合经验，有能力处理复杂问题。像这样的人物在美国可以说是车载斗量。
美国有很多这样经验极其丰富的高水平中年人，而且他们都在第一线工作。
像这种充满个人英雄主义特色的离奇事迹，似乎在美国比较多。当然一个很重要的客观原因是中国的飞机都比较新，本身就不容易出事故。
但是不可忽视的另一方面是，中国的人也都比较新。万维钢以前研究物理的时候就有个突出的感受。在美国做个报告，发现下面听讲的一大片都是中年人。回中国做个报告，听众几乎全是年轻人。当然这说明中国的未来充满希望，但也说明中国的现代化进程还比较嫩。
从万维钢的经验来看，美国中年人的水平非常高。他们不但很容易接受新事物，而且玩得比年轻人还好——他们本身就是新事物的创造者，是科学研究和各大公司技术研发的主力。在美国，当他看到一个年轻人和一个美国中年人在一起讨论问题时，更多的是年轻人向中年人请教。但是在中国，恐怕更多的工作都是年轻人做。
万维钢的妻子以前在IBM 公司工作。有一次他们去她的同事家做客，那是一位60多岁的工程师。聊天聊到读书时，万维钢说Kindle 是个很好的阅读工具，结果这位工程师和他的妻子都还没用过Kindle 。万维钢心想看来他们真是有点老了，万维钢还把自己的Kindle 拿给他们看。
但是聊到专业技术时，万维钢感觉这位工程师一点都不老。他是研究打印机的，给万维钢讲了几个技术细节、一些研发的故事。让万维钢印象非常深刻的是，他们研发的一种打印机，打印时纸张往外排的速度非常快，快到一个人全速奔跑都跟不上。他讲到这个地方时眼睛里都放着光。像这种几乎成了精的老工程师，中国能有多少？
拥有丰富的人生阅历，才能解决复杂的问题。在一个国家经济增长、技术进步的同时，人也必须变复杂才行。美国社会的宽容度高，人们可以有各种各样的经历，哪怕年龄大一点，仍然有机会从事各种各样的工作。事实上因为经历丰富，综合能力强，年龄大不但不是劣势，反而还是优势。
所以我们看美国强不强不能光看它的机场和高速公路是不是“光鲜照人”。美国的高科技、大公司和各种先进东西背后站着的那些中年人,才是真英雄。
真正搞技术的人没有中年危机，有中年危机的人都是技术不行的人。我也不是因为搞不下技术而改的行，而是为了有多彩的人生。所以，我再搞技术也绝对不差，也不见得比不上年轻人。
结语
我仍记得，当我第一次猜想到浮点数域的混沌系统，因为基于自然数域的有限精度造成的一系列偏差的时候，我陷入了对世界是否存在确定性的迷思。我先后问过我的导师，以及其他的各个领域的教授，不是回避这个问题就是在讥笑我竟然搞不懂这个问题。
然而，我并没有因为教授没没有给我答案，嘲讽我的想法，我就退缩了，失去了自信。至少我今天知道了，加州大学伯克利分校的电子工程与计算机科学教授爱德华•李（EdwardLee )和我想的一样，而且用很学术的语言，把这个想法说了出来。
人微言轻，就是这样的道理。当我是无名之辈的时候，我说的所有东西，都不会被重视。然而自己要想办法去证明，自己到底是对还是错，我想我多少完成了这一部分的修炼。
用贵州的白酒，敬天敬地敬自己，在没有月亮的时候，依然对影成三人。